Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在射線DE上，并且EF=AC．
（1）求證：AF=CE；
（2）當(dāng)∠B的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論；
（3）四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)FD⊥BC，∠ACB=90°得出DF∥AC，再由EF=AC可知四邊形EFAC是平行四邊形，故可得出結(jié)論；
（2）由點(diǎn)E在BC的垂直平分線上可知DB=DC=BC，BE=EC，由直角三角形的性質(zhì)可求出∠B=∠ECD=30°，再由相似三角形的判定定理可知BDE∽△BCA，進(jìn)而可得出AE=CE，再求出∠ECA的度數(shù)即可得出△AEC是等邊三角形，進(jìn)而可知CE=AC，故可得出結(jié)論；
（3）若四邊形EFAC是正方形，則E與D重合，A與C重合，故四邊形ACEF不可能是正方形．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四邊形EFAC是平行四邊形，
∴AF=CE；

（2）當(dāng)∠B=30° 時(shí)四邊形EFAC是菱形，
∵點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，
∴DB=DC=BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴==，即BE=AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°-30°=60°，
∴△AEC是等邊三角形
∴CE=AC，
∴四邊形EFAC是菱形；

（3）不可能．
若四邊形EFAC是正方形，則E與D重合，A與C重合，不可能有∠B=30°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線及直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．