Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣3ax+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C直線y＝﹣x+4經(jīng)過點(diǎn)B、C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)A的直線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．

①點(diǎn)N位于x軸上方時，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角∠ANB等于∠ACB的2倍時，請求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）①不存在符合條件的M點(diǎn),理由見解析；②M．

【解析】

（1）由直線y＝﹣x+4知：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2﹣3ax+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）①設(shè)點(diǎn)N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4①，則點(diǎn)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：②，聯(lián)立①②即可求解；②當(dāng)∠ANB＝2∠ACB時，則∠ANB＝90°，即可求解．

解：（1）由直線y＝﹣x+4知：點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4），

則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2﹣3ax+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4，

則點(diǎn)A（﹣1，0）；

（2）①存在，理由：

設(shè)直線AM的表達(dá)式為：y＝kx+b，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線AM的表達(dá)式為：y＝kx+k，

如圖1所示，分別過點(diǎn)M、N作x軸的垂線交于點(diǎn)H、G，

∵AM：NM＝5：3，則MH＝NG，

設(shè)點(diǎn)N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，

則點(diǎn)，

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

②，

聯(lián)立①②并整理得：5m2﹣2m+3＝0，

△＜0，故方程無解，
故不存在符合條件的M點(diǎn)；

②當(dāng)∠ANB＝2∠ACB時，如下圖，

則∠NAC=∠NCA，、
∴CN=AN，
直線BC的表達(dá)式為：y=-x+4
設(shè)點(diǎn)N（n，-n+4），
由CN=AN，
即：（n）2+（4-n-4）2=（n+1）2+（4-n）2，
解得：

則點(diǎn),

將點(diǎn)N、A坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線NA的表達(dá)式為：

將③式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并解得：

故點(diǎn)M