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已知關于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0  ①的兩個不相等實數根中有一個根為0,是否存在實數k,使關于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0 �、诘膬蓚€實數根x1、x2之差的絕對值為1?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

答案:
解析:

  ∵程①有兩個不相等的實數根,

  ∴Δ=〔-2(m1)24(m22m3)16m160,解得m>-1

  又∵  方程①有一個根為0,

  ∴m22m30

  即(m3)(m1)0

  解得m1=-1,m23

  又∵m>-1,∴m1=-1應舍去,∴m3

  當m3時,方程②變形為

  x2(k3)xk40

  ∵x1、x2是方程②的兩個實數根,

  ∴x1x2k3x1x2=-k4

  若|x1x2|1,則有(x1x2)24x1x21

  ∴(k3)24(k4)1

  即k22k80,(k4)(k2)0

  ∴k1=-2,k24

  ∵當k=-2時,Δ=〔-(k3)24(k4)k22k7(2)22×(2)710

  此時,方程②為x25x60,即x1=-3,x2=-2,滿足條件;

  當k4時,Δ=k22k7422×4710

  此時,方程②為x2x0x10,x21,也滿足條件,∴k=-24

  ∴存在實數k=-24,使得方程②的兩個實數根之差的絕對值為1


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