已知關于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0 ①的兩個不相等實數根中有一個根為0,是否存在實數k,使關于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0 �、诘膬蓚€實數根x1、x2之差的絕對值為1?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
∵程①有兩個不相等的實數根, ∴Δ=〔-2(m+1)〕2-4(m2-2m-3)=16m+16>0,解得m>-1. 又∵ 方程①有一個根為0, ∴m2-2m-3=0, 即(m-3)(m+1)=0. 解得m1=-1,m2=3. 又∵m>-1,∴m1=-1應舍去,∴m=3. 當m=3時,方程②變形為 x2-(k-3)x-k+4=0. ∵x1、x2是方程②的兩個實數根, ∴x1+x2=k-3,x1x2=-k+4. 若|x1-x2|=1,則有(x1+x2)2-4x1x2=1. ∴(k-3)2-4(-k+4)=1. 即k2-2k-8=0,(k-4)(k+2)=0. ∴k1=-2,k2=4. ∵當k=-2時,Δ=〔-(k-3)〕2-4(-k+4)=k2-2k-7=(-2)2-2×(-2)-7=1>0. 此時,方程②為x2+5x+6=0,即x1=-3,x2=-2,滿足條件; 當k=4時,Δ=k2-2k-7=42-2×4-7=1>0, 此時,方程②為x2-x=0,x1=0,x2=1,也滿足條件,∴k=-2或4. ∴存在實數k=-2或4,使得方程②的兩個實數根之差的絕對值為1. |
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