Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點P是CD上一動點，連接PA交BD于點E，過點E作EF⊥AP交BC于點F，過點F作FG⊥BD于點G，下列有四個結(jié)論：①AE=EF，②∠PAF=45°③BD=2EG，④△PCF的周長為定值，其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：（1）作輔助線，延長FE交AD于點L，連接CE，通過證明△ADE≌△CDE，可得：AE=CE，故需證明EC=EF，可證：AE=EF；
（2）由EF⊥AP，AE=EF，可得：∠FAP=45°；
（3）作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD=2EG，只需證OA=GE即可，根據(jù)△AOE≌△EGP，可證OA=GE，故可證BD=2EG；（4）作輔助線，延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥FL，則IL=FC，可證AL=FE，再根據(jù)△MEC≌△MIC，可證：CI=IM，故△CEM的周長為邊AM的長，為定值．
解答：（1）連接FP，EC，延長FE交AD于點L．

∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDE=45°．
∵AD=CD，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
∴EC=AE，∠PCE=∠DAE．
∵∠ALF+∠LAE=90°，
∴∠LFC+∠DAE=90°．
∵∠PCE=∠DAE，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=EC．
∴EF=AE．
（2）∵EF⊥AP，EF=AE，
∴∠FAP=45°．

（3）連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，
∵∠AEO+∠GEF=∠GFE+∠GEF，
∴∠AEO=∠GFE．
∵AE=FE，∠AOE=∠EGF=90°，
∴△AOE≌△EGF．
∴OA=GE．
∵BD=2OA，
∴BD=2EG．

（4）延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥FL，則：LI=FC，
根據(jù)△MPC≌△MIC，可得：CP=IM，
同理，可得：AL=FP，
∴FP+FC+PC=AL+LI+IM=AM=4．
∴△CPM的周長為4，為定值．
故（1）（2）（3）（4）結(jié)論都正確．
故選D．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等．