Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm²），試探究y的最大值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論，
（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S_△ABC-S_△BPE-S_△QCE即可求解，
（3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8-t，
t的取值范圍是：0≤t≤5；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=

4

5

，PB=10-2t，EB=6-t，
∴PG=PBSinB=

4

5

（10-2t）
∴y=S_△ABC-S_△PBE-S_△QCE=

1 2 ×6×8- 1 2 (6-t)× 4 5 (10-2t)- 1 2 t2

=-

13

10

t2+

44

5

t=-

13

10

(t-

44

13

)2+

968

65

∴當(dāng)t=

44

13

（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y_最大值=

968

65

（cm²）

（3）若AP=AQ，則有2t=8-t解得：t=

8

3

（s）
若AP=PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH=

8-t

2

，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，
即

2t

8-t 2

=

10

8

，
解得：t=

40

21

（s）
若AQ=PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI=

1

2

AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴

AI

AQ

=

AC

AB

即

t

8-t

=

8

10

，
解得：t=

32

9

（s）
綜上所述，當(dāng)t=

8

3

或

40

21

或

32

9

時(shí)，△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識(shí)，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．