拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)連結(jié)BD,CD,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

①若線段BD上一點(diǎn)P,使∠DCP=∠BDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

②若拋物線上一點(diǎn)M,作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,使∠CMN=∠BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

【答案】

(1)B的坐標(biāo)為(3,0)   D的坐標(biāo)為(1,-4)

(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)②點(diǎn)M坐標(biāo)為()或(5,12)

【解析】解:(1)∵拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),

∴當(dāng)y=0時(shí),,解得x=3或x=﹣1�!帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)。

,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4)。

(2)①如圖,

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)。

∵對(duì)稱軸為直線x=1,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)。

連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H,則H點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣3),

∴CH=DH=1。

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。

∴CD=,CB=3,△BCD為直角三角形。

分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R。

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,

∴∠CDB=∠QCO�!唷鰾CD∽△QOC�!�。

∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).

∴直線CQ的解析式為。

又直線BD的解析式為,

由方程組解得:。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)。

②(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),

若點(diǎn)N在射線CD上,如圖,

延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G.,

∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,

∴△MCN∽△DBE�!��!郙N=2CN。

設(shè)CN=a,則MN=2a。

∵∠CDE=∠DCF=45°,

∴△CNF,△MGF均為等腰直角三角形。

∴NF=CN=a,CF=a�!郙F=MN+NF=3a�!郙G=FG=a。

∴CG=FG﹣FC=a。

∴M(a,)。

代入拋物線,解得a=。,

∴M()。

若點(diǎn)N在射線DC上,如圖,

MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G,

∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,

∴△MCN∽△DBE,∴

∴MN=2CN。.

設(shè)CN=a,則MN=2a。

∵∠CDE=45°,

∴△CNF,△MGF均為等腰直角三角形。,

∴NF=CN=a,CF=a。

∴MF=MN﹣NF=a,∴MG=FG=a�!郈G=FG+FC=a。∴M(a,)。

代入拋物線,解得a=

∴M(5,12)。

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),

∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°。

而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有∠KCN<45°,∴點(diǎn)M不存在。

綜上可知,點(diǎn)M坐標(biāo)為()或(5,12)。

(1)解方程,求出x=3或﹣1,根據(jù)拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0);將拋物線寫(xiě)成頂點(diǎn)式,即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

(2)①根據(jù)拋物線,得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo).連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H,由勾股定理得出CD=,CB=3,證明△BCD為直角三角形.分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC,則,得出Q的坐標(biāo)(﹣9,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為,直線BD的解析式為,解方程組,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

②分點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)和點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論:(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),分點(diǎn)N在射線CD上和點(diǎn)N在射線DC上兩種情況討論;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),由于∠BDE<45°,得到∠CMN<45°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN>45°,而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有∠KCN<45°,所以點(diǎn)M不存在。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),A在B的左側(cè),A坐標(biāo)為(-1,0)與y軸交于點(diǎn)C(0,3)△ABC的面積為6.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC相交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn),當(dāng)以M,N,B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí),請(qǐng)你求出BN的長(zhǎng)度;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D在線段BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2013•莒南縣一模)已知,如圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,4)與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)B(4,0),拋物線的對(duì)稱軸為x=1.直線AD交拋物線于點(diǎn)D(2,m),
(1)求二次函數(shù)的解析式并寫(xiě)出D點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)Q是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AD交BD于E,連結(jié)DQ,當(dāng)△DQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)拋物線與y軸交于點(diǎn)C,直線AD與y軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N在x軸上,當(dāng)四邊形CMNF周長(zhǎng)取最小值時(shí),求出滿足條件的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo).

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已知拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(6,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線與y軸交于點(diǎn)D,求△ABD的面積;
(3)當(dāng)y<0,直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍.

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已知拋物線y=x2+mx-
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m2(m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn).
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如圖甲所示,已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);
(1)求拋物線函數(shù)關(guān)系式;
(2)矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3,將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移,同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖乙所示).
①當(dāng)t=
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時(shí),判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說(shuō)明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問(wèn)S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
③現(xiàn)將甲圖中的拋物線向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于G、F兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)Q,設(shè)△FGQ的面積為S,求S關(guān)于m的函關(guān)系式.

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