拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn).
(1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)連結(jié)BD,CD,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.
①若線段BD上一點(diǎn)P,使∠DCP=∠BDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
②若拋物線上一點(diǎn)M,作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,使∠CMN=∠BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
(1)B的坐標(biāo)為(3,0) D的坐標(biāo)為(1,-4)
(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,
)②點(diǎn)M坐標(biāo)為(
)或(5,12)
【解析】解:(1)∵拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),
∴當(dāng)y=0時(shí),,解得x=3或x=﹣1�!帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)。
∵,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4)。
(2)①如圖,
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)。
∵對(duì)稱軸為直線x=1,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0)。
連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H,則H點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣3),
∴CH=DH=1。
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°。
∴CD=,CB=3
,△BCD為直角三角形。
分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R。
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR,
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP,∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP,
∴∠CDB=∠QCO�!唷鰾CD∽△QOC�!�。
∴OQ=3OC=9,即Q(﹣9,0).
∴直線CQ的解析式為。
又直線BD的解析式為,
由方程組解得:
。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,
)。
②(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),
若點(diǎn)N在射線CD上,如圖,
延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G.,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE�!��!郙N=2CN。
設(shè)CN=a,則MN=2a。
∵∠CDE=∠DCF=45°,
∴△CNF,△MGF均為等腰直角三角形。
∴NF=CN=a,CF=a�!郙F=MN+NF=3a�!郙G=FG=
a。
∴CG=FG﹣FC=a。
∴M(a,
)。
代入拋物線,解得a=
。,
∴M()。
若點(diǎn)N在射線DC上,如圖,
MN交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G,
∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90°,
∴△MCN∽△DBE,∴。
∴MN=2CN。.
設(shè)CN=a,則MN=2a。
∵∠CDE=45°,
∴△CNF,△MGF均為等腰直角三角形。,
∴NF=CN=a,CF=a。
∴MF=MN﹣NF=a,∴MG=FG=a�!郈G=FG+FC=
a。∴M(
a,
)。
代入拋物線,解得a=
。
∴M(5,12)。
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),
∵∠CMN=∠BDE<45°,∴∠MCN>45°。
而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有∠KCN<45°,∴點(diǎn)M不存在。
綜上可知,點(diǎn)M坐標(biāo)為()或(5,12)。
(1)解方程,求出x=3或﹣1,根據(jù)拋物線
與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),確定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0);將拋物線寫(xiě)成頂點(diǎn)式
,即可確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(2)①根據(jù)拋物線,得到點(diǎn)C、點(diǎn)E的坐標(biāo).連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H,由勾股定理得出CD=
,CB=3
,證明△BCD為直角三角形.分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R.根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC,則
,得出Q的坐標(biāo)(﹣9,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CQ的解析式為
,直線BD的解析式為
,解方程組
,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
②分點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)和點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論:(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),分點(diǎn)N在射線CD上和點(diǎn)N在射線DC上兩種情況討論;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí),由于∠BDE<45°,得到∠CMN<45°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN>45°,而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有∠KCN<45°,所以點(diǎn)M不存在。
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