Question

求一實(shí)數(shù)p，使用三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三個(gè)根均為自然數(shù)．

Answer 1

分析：觀察可知1是方程的解，方程可轉(zhuǎn)化為（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，繼而求一切實(shí)數(shù)p使方程5x²-5px+66p-1=0的解為自然數(shù)，然后根據(jù)韋達(dá)定理知：p為方程兩根之和，即p是自然數(shù)，進(jìn)而解得p的值．

解答：解：觀察可知，1是方程的解，方程可轉(zhuǎn)化為
（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求一切實(shí)數(shù)p使方程
5x²-5px+66p-1=0的解為自然數(shù)．
由韋達(dá)定理知，p為方程兩根之和，即p是自然數(shù)．
△=（5p-132）²-17404．
設(shè)（5p-132）²-17404=n²（n＞0，n為自然數(shù)）．
移項(xiàng)分解可得（5p-132+n）（5p-132-n）
=2²×19×229．
又（5p-132+n），（5p-132-n）同奇偶，
所以

5p-132+n=2×229 5p-132-n=2×19.

，
解得p=76．
故答案為：76．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵觀察出1是方程的根和熟練運(yùn)用韋達(dá)定理的知識(shí)點(diǎn)，本題難度較大．