Question

【題目】如圖，一張正三角形的紙片的邊長為2cm，D、E、F分別是邊AB、BC、CA（含端點(diǎn)）上的點(diǎn)，設(shè)BD＝CE＝AF＝x（cm），△DEF的面積為y（cm2）．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍；

（2）求△DEF的面積y的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）△DEF的面積的最大值為，最小值為

【解析】

（1）根據(jù)題意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三個(gè)三角形全等，且在在△ADF中，AF＝x，AD＝2﹣x；可得△DEG的面積y與x的關(guān)系；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．

解：（1）∵AF＝BD＝CE＝x，且等邊△ABC的邊長為2，

∴BE＝CF＝AD＝2﹣x，

∵AB＝BC＝AC，

∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）．

過點(diǎn)F做FM⊥AD

在△ADF中，AF＝x，AD＝2﹣x，

∵S△ADF＝ =AD×AF×sinA＝x（2﹣x）；

∴

∴y＝．

（2）∵y＝

∴其圖象為二次函數(shù)，且開口向上，

∵0≤x≤2，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值為

當(dāng)x=0或2時(shí)，y有最大值為

∴△DEF的面積的最大值為，最小值為．