Question

用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架（如圖①②③中的一種）

設豎檔AB=x米，請根據以上圖案回答下列問題：（題中的不銹鋼材料總長度均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行）
（1）在圖①中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積為3平方米？
（2）在圖②中，如果不誘鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？
（3）在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）先用含x的代數式（12-3x）÷3=4-x表示橫檔AD的長，然后根據矩形的面積公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代數式（12-4x）÷3=4-

4

3

x表示橫檔AD的長，然后根據矩形面積公式得到二次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的最大面積以及對應的x的值．
（3）用含x的代數式（a-nx）÷3=

a

3

-

n

3

x表示橫檔AD的長，然后根據矩形的面積公式得到二次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的最大面積以及對應的x的值．

解答：解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，
答：當x=1或3米時，矩形框架ABCD的面積為3平方米；

（2）AD=（12-4x）÷3=4-

4

3

x，
S=x（4-

4

3

x），
=-

4

3

x²+4x，
當x=-

4

2×(- 4 3 )

=

3

2

時，
S_最大=

0-16

4×(- 4 3 )

=3，
答：當x=

3

2

時，矩形架ABCD的面積S最大，最大面積是3平方米；

（3）AD=（a-nx）÷3=

a

3

-

n

3

x，
S=x（

a

3

-

n

3

x），
=-

n

3

x²+

a

3

x，
當x=-

a 3

2×(- n 3 )

=

a

2n

時
S_最大=

- a2 9

4×(- n 3 )

=

a2

12n

．
答：當x=

a

2n

時，矩形ABCD的面積S最大，最大面積是

a2

12n

平方米．

點評：本題考查的是二次函數的應用，（1）根據面積公式列方程，求出x的值．（2）根據面積公式得二次函數，利用二次函數的性質求最值．（3）根據面積公式得到字母系數的二次函數，然后求出函數的最大值．