Question

將正方形ABCD分割為n²個(gè)相等的小方格，把相對(duì)的頂點(diǎn)A、C染成紅色，把B、D染成藍(lán)色，其他各點(diǎn)任意染成紅藍(lán)兩色中的一種顏色．證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：若恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色（三紅一藍(lán)或一紅三藍(lán)），則A_i=1或3為奇數(shù)，否則（4紅，二紅二藍(lán)，4藍(lán)）A_i為偶數(shù)．
在A₁+A₂+A₃+…+A_n²中，有如下事實(shí)：
（1）原正方形內(nèi)部的交點(diǎn)屬于4個(gè)小正方形，各加了4次；
（2）原正方形邊上非頂點(diǎn)的交點(diǎn)屬于2個(gè)小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各加了1次（含2個(gè)0，2個(gè)1）．
∴A₁+A₂+A₃+…+A_n²
=4（內(nèi)部交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)字之和）+2（邊上非頂點(diǎn)的交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)字之和）+2，此和必為偶數(shù)．
解答：證明：用數(shù)代表顏色，將紅色記為0，藍(lán)色記為1，再將小方格編號(hào)記為1，2，3，n²，又記第i（i=1，2，3，n²）個(gè)小方格四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字之和為A．
若恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色（三紅一藍(lán)或一紅三藍(lán)），則A_i=1或3為奇數(shù)，否則（4紅，二紅二藍(lán)，4藍(lán)）A_i為偶數(shù)．
在A₁+A₂+A₃+…+A_n²中，有如下事實(shí)：
（1）原正方形內(nèi)部的交點(diǎn)屬于4個(gè)小正方形，各加了4次；
（2）原正方形邊上非頂點(diǎn)的交點(diǎn)屬于2個(gè)小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四個(gè)頂點(diǎn)各加了1次（含2個(gè)0，2個(gè)1）．
∴A₁+A₂+A₃+…+A_n²
=4（內(nèi)部交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)字之和）+2（邊上非頂點(diǎn)的交點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)字之和）+2，此和必為偶數(shù)．
于是，在A₁，A₂，A₃，A_n²中必定是偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，
所以：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同色的小方格的數(shù)目必有是偶數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：這道推理題將染色問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來處理，簡明、清晰，效果突出．