如圖,E是正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)是CD上一點(diǎn),DF=3CF.
求證:AE⊥EF.
證明:連結(jié)AF. 設(shè)CF=x,則DF=3x,CD=4x. ∵E是BC的中點(diǎn), ∴AB=4x,BE=EC=2x. 在Rt△ABE中, AE2=AB2+BE2=16x2+4x2=20x2. 在Rt△ADF中,(勾股定理) AF2=AD2+DF2=16x2+9x2=25x2. 在Rt△ECF中, EF2=EC2+CF2=4x2+x2=5x2. ∴AE2+EF2=20x2+5x2=25x2=AF2, ∴△AEF是直角三角形,且∠AEF=, 即AE⊥EF.(勾股定理的逆定理,常用來證明線段垂直) |
點(diǎn)評:此題是勾股定理逆定理的典型應(yīng)用,通過“計(jì)算”的方法,“算”出兩條直線互相垂直. |
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B、
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C、a | ||
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