(2002•南昌)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí),AO的長(zhǎng).
(2)在⊙O移動(dòng)過(guò)程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮,相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S,在S>0時(shí),求S關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.
【答案】分析:(1)求AO的關(guān)鍵是求出BO,如果設(shè)與BC相切時(shí)切點(diǎn)為D的話,可在直角三角形BOD中用半徑的長(zhǎng)和∠ABC的正弦值求出BO的長(zhǎng),也就能求出AO的長(zhǎng)了.
(2)考慮直線與圓的位置,只需考慮半徑的長(zhǎng)以及圓心到直線的距離即可.
當(dāng)圓的半徑正好等于等邊三角形的高的時(shí)候,那么只有圓心在等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)時(shí),圓才與等邊三角形相切;
當(dāng)圓的半徑小于高時(shí)(半徑應(yīng)大于0),在每一條邊運(yùn)動(dòng)時(shí)都要與三角形的兩邊相切即切點(diǎn)有兩個(gè),那么走完3條邊后切點(diǎn)應(yīng)有6個(gè);
當(dāng)圓的半徑大于高的時(shí)候,圓與三角形的三邊相交或三角形在圓內(nèi),因此沒(méi)有切點(diǎn).
(3)本題的關(guān)鍵是求出內(nèi)部三角形的邊和相應(yīng)的高.
根據(jù)題意我們不難得出內(nèi)部的三角形應(yīng)該和三角形ABC相似,即內(nèi)部的三角形也應(yīng)該是等邊三角形.
如果設(shè)這個(gè)三角形為A′B′C′,那么可作出三角形ABC和A′B′C′的高來(lái)求解.
連接AA′并延長(zhǎng)其交B′C′,BC于E,F(xiàn),那么A′E就應(yīng)該是內(nèi)部三角形的高,如果求出了高就可以通過(guò)三角函數(shù)求出內(nèi)部三角形的邊長(zhǎng)也就能求出它的面積,因此求A′E長(zhǎng)就是解題的關(guān)鍵.
我們觀察后發(fā)現(xiàn),EF=r,而AF可以在三角形ABC中求出,那么關(guān)鍵是求A′A,可通過(guò)構(gòu)建直角三角形求解.
過(guò)A′作A′G⊥AB于G,那么A′G=r,那么我們可根據(jù)∠A′AG的度數(shù)用三角函數(shù)和r表示出AA′,這樣就能求出A′E和內(nèi)部三角形的邊長(zhǎng)了,那么根據(jù)三角形的面積公式就能得出關(guān)于S,r的函數(shù)解析式了.
解答:解:(1)設(shè)⊙O首次與BC相切于點(diǎn)D,則有OD⊥BC.
且OD=r=
在直角三角形BDO中,
∵∠OBD=60°,
∴OB==2.
∴AO=AB-OB=6-2=4(厘米);

(2)由正三角形的邊長(zhǎng)為6厘米.可得出它的一邊上的高為3厘米.
①當(dāng)⊙O的半徑r=3厘米時(shí),⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊共相切三次,即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為3;
②當(dāng)0<r<3時(shí),⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊相切六次,即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為6;
③當(dāng)r>3時(shí),⊙O與△ABC不能相切,即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

(3)如圖,易知在S>0時(shí),⊙O在移動(dòng)中,在△ABC內(nèi)部為經(jīng)過(guò)的部分為正三角形.
記作△A′B′C′,這個(gè)正三角形的三邊分別于原正三角形三邊平行,且平行線間的距離等于r.
連接AA′,并延長(zhǎng)AA′,分別交B′C′,BC于E,F(xiàn)兩點(diǎn).
則AF⊥BC,A′E⊥B′C′,且EF=r.
又過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于G,則A′G=r.
∵∠GAA′=30°,
∴AA′=2r.
∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=3-3r,
B′C′=A′E=2-r).
∴△A′B′C′的面積S=B′C′•A′E=3-r)2
∴所求的解析式為S=3-r)2(0<r<3).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2002年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《銳角三角函數(shù)》(04)(解析版) 題型:解答題

(2002•南昌)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí),AO的長(zhǎng).
(2)在⊙O移動(dòng)過(guò)程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮,相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S,在S>0時(shí),求S關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2002年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《三角形》(09)(解析版) 題型:解答題

(2002•南昌)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí),AO的長(zhǎng).
(2)在⊙O移動(dòng)過(guò)程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮,相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S,在S>0時(shí),求S關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2002年江西省中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2002•南昌)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí),AO的長(zhǎng).
(2)在⊙O移動(dòng)過(guò)程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮,相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S,在S>0時(shí),求S關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2002年江西省南昌市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2002•南昌)如圖,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí),AO的長(zhǎng).
(2)在⊙O移動(dòng)過(guò)程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮,相切有幾種不同的情況寫出不同情況下X的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中,在△ABC內(nèi)部、⊙O未經(jīng)過(guò)的部分的面積為S,在S>0時(shí),求S關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案