Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（x₁，0），
B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個實數(shù)根，點C為拋物線與y軸的交點．
（1）求點A，B的坐標；
（2）分別求出拋物線和直線AC的解析式；
（3）若將過點（0，2）且平行于x軸的直線定義為直線y=2．設動直線y=m（0＜m＜2）與線段AC、BC分別交于D、E兩點．在x軸上是否存在點P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個實數(shù)根，那么解方程x²-2x-3=0即可得到點A，B的坐標；
（2）首先把A，B兩點的坐標分別代入y=ax²+bx+2可以得到關于a、b的方程組，解方程組即可求出a、b的值，同時可以得到c的值，最后利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（3）假設存在滿足條件的點P，并設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）．
①當DE為腰時，分別過點D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖1，則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，然后證明△CDE∽△CAB，接著利用相似三角形的性質求出m，然后求出點D的縱坐標，也就求出了P的坐標；
②如圖2，當DE為底邊時，過DE的中點G作GP₃⊥x軸于點P₃．同樣的方法可以求出D的縱坐標，也就求出了P的坐標．

解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得x=-1或x=3．
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）把A，B兩點的坐標分別代入y=ax²+bx+2聯(lián)立求解，
得a=-

2

3

，b=

4

3

．（2分）
∴此拋物線的解析式為y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．
∵當x=0時，y=2，
∴C（0，2）．
設AC的解析式為y=kx+n（k≠0），把A，C兩點坐標分別代入y=kx+n，
聯(lián)立求得k=2，n=2．
∴直線AC的解析式為y=2x+2；

（3）假設存在滿足條件的點P，并設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）
①當DE為腰時，分別過點D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖1，則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，
∴DE=DP₁=FO=EP₂=m．
∵AB=x₂-x₁=4，
又∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．
∴點D的縱坐標是

4

3

．
∵點D在直線AC上，
∴2x+2=

4

3

，
解得x=-

1

3

，
∴D(-

1

3

，

4

3

)．
∴P1(-

1

3

，0)．
同理可求P₂（1，0）．
②如圖2，當DE為底邊時，過DE的中點G作GP₃⊥x軸于點P₃
∵P₃D=P₃E，∠DP₃E=90°，
∴DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．
同①方法求得D(-

1

2

，1)，E(

3

2

，1)，
∴DG=EG=GP₃=1．
∴OP3=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P3(

1

2

，0)．
綜上所述，滿足條件的點P共有3個，
即P1(-

1

3

，0)，P2(1，0)，P3(

1

2

，0)．
如有其他解（證）法，請酌情給分．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和相似三角形的性質與判定及待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．