Question

如圖的格點圖中，每行（列）相鄰兩個格點之間都相距1個長度單位．
（1）如圖，格點C與格點A、B構成的三角形ABC的面積是2，還有一些格點與格點A、B構成的三角形面積也是2，請找出所有這樣的格點，并在圖上標示出來．

（2）有些格點與格點A、B可以構成等腰三角形ABD，請你找出所有這樣的格點D，并在圖中標出．

（3）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有等邊三角形？如有，將它們標示出來；
如沒有，思考：在下面的8*8格點圖中，是否存在以格點為頂點的等邊三角形，如果存在，請標示出來，如果不存在，說明理由，一般地，對于任意大的格點圖（如100*100個點的格點圖），這個結論是否成立？

（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有以AB為腰的等腰直角三角形，有沒有以AB為底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格點圖中，對于任意給定的兩個格點，是否一定存在以這兩個格點所在線段為腰的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構造方法；如果不一定有，思考：對于什么樣的兩點（即兩點的坐標之間滿足什么條件時）有．
在充分大的格點圖中，對于任意給定的兩個格點，是否一定存在以這兩個格點所在線段為底的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構造方法；如果不一定有，思考：對于什么樣的兩點（即兩點的坐標之間滿足什么條件時）有．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形面積相等即可找出要求的點C；
（2）根據(jù)等腰三角形兩腰長相等即可得出答案；
（3）問題（2）所得到的等腰三角形中沒有等邊三角形．在8*8格點圖乃至任意大的格點圖中，都沒有格點為頂點的等邊三角形．
（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有以AB為腰的等腰直角三角形，有以AB為底的等腰直角三角形．一般地，在充分大的格點圖中，對于任意給定的兩個格點，一定存在以這兩個格點所在線段為腰的等腰直角三角形．

解答：解：（1）C₁、C₂、C₃、C₄，如圖：

（2）D₁、D₂、D₃、D₄等7點，如圖：

（3）問題（2）所得到的等腰三角形中沒有等邊三角形．在8*8格點圖乃至任意大的格點圖中，都沒有格點為頂點的等邊三角形．
說理方式很多，如可以將其中一個頂點選為坐標原點，分析另外兩個頂點坐標的奇偶性，分別給予排除；也可以將其中一個頂點選為坐標原點后，分別設另兩個頂點的坐標為（a，b），（c，d），證明a²+b²=c²+d²=（a-c）²+（b-d）²無整數(shù)解．
（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有以AB為腰的等腰直角三角形，有以AB為底的等腰直角三角形．
一般地，在充分大的格點圖中，對于任意給定的兩個格點，一定存在以這兩個格點所在線段為腰的等腰直角三角形．如果所給定兩個格點的坐標為（a，b），（c，d），符合條件的第3個點有幾個，如其中一個可以是（a+d-b，b+a-c）．
在充分大的格點圖中，對于任意給定的兩個格點，不一定存在以這兩個格點所在線段為底的等腰直角三角形．如果所給定兩個格點的坐標為（a，b），（c，d），只有當a+d與b+c具有相同的奇偶性時，才存在以該兩點所在線段為底的等腰直角三角形．

點評：本題考查了等腰三角形的性質及三角形的面積，難度較大，關鍵是掌握等腰三角形的等邊對等角定理．