Question

矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE=，則BD=    ．

Answer 1

【答案】分析：由于AB為矩形的長(zhǎng)邊或短邊不能確定，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：
AB是矩形較短邊時(shí)可設(shè)出OE=x，ED=3x，然后在直角三角形OEA中利用勾股定理進(jìn)行求解；
當(dāng)AB是矩形較長(zhǎng)邊時(shí)，設(shè)OE=x，則ED=3x，在Rt△AOE中利用勾股定理可求出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：解：如圖（一）所示，
AB是矩形較短邊時(shí)，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=；
∵OE：ED=1：3，
∴可設(shè)OE=x，ED=3x，則OD=2x
∵AE⊥BD，AE=，
∴在Rt△OEA中，x²+（）²=（2x）²，
∴x=1
∴BD=4．
當(dāng)AB是矩形較長(zhǎng)邊時(shí)，如圖（二）所示，
∵OE：ED=1：3，
∴設(shè)OE=x，則ED=3x，
∵OA=OD，
∴OA=4x，
在Rt△AOE中，x²+（）²=（4x）²，
∴x=，
∴BD=8x=8×=．
故答案為：4或．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理把求線段的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題．