Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．

（1）試說明：AE⊥BF；

（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF=CE，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，然后得到∠DAB+∠ABC=180°，然后根據(jù)角的平分線得出∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，等量代換得出∠BAE+∠ABF=90°即可；（2）先猜想DF=CE，利用角的平分線和平行線的性質(zhì)可得DE=AD，CF=BC，然后利用線段的和差關系可得出結(jié)論.

試題解析：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

（2）DF=CE，

∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．

同理可得，CF=BC．

又∵在平行四邊形ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE﹣EF=CF﹣EF．

即DF=CE．