Question

（2008•黃石）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn)可求出拋物線表達(dá)式；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出P點(diǎn)，解出直線CD的解析式，根據(jù)點(diǎn)P到CD的距離等于PO可解出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）應(yīng)分兩種情況：拋物線向上或下平移，設(shè)出解析式，代入點(diǎn)求出平移的單位長(zhǎng)度．
解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4）．
把C（0，8）代入，得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點(diǎn)D（1，9）；（2分）

（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在．依題意設(shè)P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）求得直線CD的解析式為y=x+8，
它與x軸的夾角為45°．
設(shè)OB的中垂線交CD于H，則H（2，10）．
則PH=|10-t|，點(diǎn)P到CD的距離為．
又．（4分）
∴．
平方并整理得：t²+20t-92=0，解之得t=-10±8．
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，P的坐標(biāo)為（2，-10±8）．（6分）

（3）由上求得E（-8，0），F(xiàn)（4，12）．
①若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當(dāng)x=-8時(shí)，y=-72+m．
當(dāng)x=4時(shí)，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若拋物線向下平移，可設(shè)解析式為y=-x²+2x+8-m（m＞0）．
由，
有-x²+x-m=0．
∴△=1+4m≥0，
∴m≥-．
∴向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)求拋物線解析式，第二問(wèn)考查垂直平分線性質(zhì)，利用距離相等解題，最后一問(wèn)考拋物線的平移，要注意已知條件和技巧．