Question

如果一條拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是       三角形；
（2）如圖，△OAB是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出r的取值范圍．

Answer 1

（1）等腰；（2）存在，；（3）或.

解析試題分析：（1）根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性和等腰三角形的判定可得結(jié)論.
（2）根據(jù)“拋物線三角形”求出A，B的坐標(biāo)，求出A，B關(guān)于原點(diǎn)O為對(duì)稱的點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式.
（3）點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，則⊙E與AD相切或⊙E的半徑在AE和AD之間.
（1）等腰 .
（2）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形 .
又∵AO=AB，∴△OAB為等邊三角形．
作AE⊥OB，垂足為E．
∴．∴(b﹥0)．∴.
∴．
∴ .
設(shè)過(guò)點(diǎn)O,C,D三點(diǎn)的拋物線，則
，解之，得.
∴所求拋物線的表達(dá)式為 .

（3）①⊙E與AD相切時(shí)， .
②⊙E過(guò)點(diǎn)D時(shí)，.
③⊙E過(guò)點(diǎn)A時(shí)， .
綜上所述，或.
考點(diǎn)：1.新定義；2.二次函數(shù)的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定；4.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)；5.待定系數(shù)法的應(yīng)用；6.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；7.直線與圓的位置關(guān)系；8.分類思想的應(yīng)用.