Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋x－2與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C.

（1）求證：△AOC∽△COB；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個(gè)單位的速度由D向C運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)幾秒后，PQ＝AC.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）經(jīng)過(guò)2.5秒或 1.5秒時(shí)，PQ＝AC.

【解析】試題分析：（1）可先根據(jù)拋物線的解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后看OA，OC，OB是否對(duì)應(yīng)成比例即可；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：AC=BD，四邊形ABDC為等腰梯形，那么本題可分兩種情況進(jìn)行求解：
①當(dāng)四邊形APQC是等腰梯形，即四邊形PQDB是平行四邊形時(shí)，AC=PQ，那么QD=PB，可據(jù)此來(lái)求t的值．
②當(dāng)四邊形ACQP是平行四邊形時(shí)，AC=PQ，那么此時(shí)AP=CQ，可據(jù)此求出t的值．

試題解析：（1）解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，即=0，得x1=1，x2=4 .當(dāng)x=0時(shí)，y=－2.

∴ A（1，0），B（4，0），C（0，－2）.

∴OA=1，OB=4，OC=2 ，

∴， .

又∵∠AOC=∠BOC ∴△AOC∽△COB.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，PQ=AC．由題意得：AP=DQ= t

∵A（1，0）、B（4，0） ∴AB=3 ， ∴BP=3－t ‘

∵CD∥x軸，點(diǎn)C（0，－2） ∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為－2.

∵點(diǎn)D在拋物線y=上

∴D（5，－2） ∴CD=5 ∴CQ=5－t

① 當(dāng)AP=CQ，即四邊形APQC是平行四邊形時(shí)， PQ=AC．

t=5－t ∴t=2.5.

② 連結(jié)BD，當(dāng)DQ=BP，即四邊形PBDQ是平行四邊形時(shí)，

PQ=BD=AC.

t=3－t ∴t=1.5.

所以，經(jīng)過(guò)2.5秒或 1.5秒時(shí)，PQ=AC.