Question

【題目】如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且∠ACD＝∠A．

（1）作∠BDC的平分線(xiàn)DE，交BC于點(diǎn)E．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，但不必寫(xiě)出作法）；

（2）在（1）的條件下，求證：DE∥AC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用基本作圖（作已知角的平分線(xiàn)）作∠BDC的平分線(xiàn)DE（以點(diǎn)D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與DB、DC分別交于一點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離一半長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在角的內(nèi)部交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D以及這個(gè)交點(diǎn)作射線(xiàn)，交BC于點(diǎn)E）；

（2）先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠BDE＝∠CDE，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDC＝∠A+∠ACD，加上∠ACD＝∠A，則∠BDE＝∠A，然后根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法可判斷DE∥BC．

（1）如圖，DE為所作；

（2）DE∥AC．理由如下：

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE＝∠CDE，

而∠BDC＝∠A+∠ACD，

即∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ACD，

∵∠ACD＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥BC．