Question

如圖，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．

(1)求圖中陰影部分的面積；

(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)法一：過O作OE⊥AB于E，則AE＝AB＝2　　1分 　　在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30°＝． 　　∴OA＝＝＝4　　3分 　　又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°． 　　∵AC⊥BD，∴． 　　∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°　　5分 　　∴S陰影＝＝　　6分 　　法二：連結AD　　1分 　　∵AC⊥BD，AC是直徑， 　　∴AC垂直平分BD　　2分 　　∴AB＝AD，BF＝FD，． 　　∴∠BAD＝2∠BAC＝60°， 　　∴∠BOD＝120°　　3分 　　∵BF＝AB＝2，sin60°＝， 　　AF＝AB·sin60°＝4×＝6． 　　∴OB2＝BF2＋OF2．即． 　　∴OB＝4　　5分 　　∴S陰影＝S圓＝　　6分 　　法三：連結BC　　1分 　　∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°． 　　∵AB＝4， 　　∴　　3分 　　∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴∠BOC＝60°， 　　∴∠BOD＝120°． 　　∴S陰影＝π·OA2＝×42·π＝　　6分 　　以下同法一． 　　(2)設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr， 　　∴． 　　∴　　10分