Question

如圖，矩形ABCD的邊AB=4，AD=10．點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，如果△ABP與△CDP相似，那么符合條件的點(diǎn)P有

 

個(gè)．

Answer 1

分析：由四邊形ABCD是矩形，即可得∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，然后分別從當(dāng)

AB

CD

=

BP

CP

時(shí)，△ABP∽△CDP；當(dāng)

AB

CP

=

BP

CD

時(shí)，△ABP∽△PCD，借助于方程求解即可求得答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，
當(dāng)BC=5時(shí)，

AB

CD

=

BP

CP

，即BP=CP=

1

2

BC=5時(shí)，△ABP∽△CDP；
當(dāng)

AB

CP

=

BP

CD

時(shí)，△ABP∽△PCD，
設(shè)BP=x，則CP=BC-BP=10-x，
∴

4

10-x

=

x

4

，
解得：x=2或x=8，
即BP=2或BP=8時(shí)，△ABP∽△PCD．
∴當(dāng)BP=5或2或8時(shí)，△ABP與△CDP相似．
∴符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．