Question

對(duì)于素?cái)?shù)p，q，方程x⁴-px³+q=0有整數(shù)解，則p=______q=______

Answer 1

將方程x⁴-px³+q=0移項(xiàng)，得 x⁴+q=px³．
可見，x⁴≥0，則x⁴+q＞0，
所以px³＞0，
即x＞0，
本題也就是要求出使方程x⁴-px³+q=0有正整數(shù)解的素?cái)?shù)p、q；
且素?cái)?shù)p必定是奇素?cái)?shù)，否則是偶素?cái)?shù)的話，
那么p=2，
則方程成為：x⁴+q=2x³，
即q=2x³-x⁴=x³×（2-x）＞0，
得出2-x＞0，
即x＜2，
則只能是x=1，
代入方程：1⁴+q=2×1³，
即1+q=2，解得q=1，不是素?cái)?shù)，故p必定是奇素?cái)?shù)．
分兩種情形討論：
情形一：當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，設(shè)為x=2n，
則有（2n）⁴+q=p×（2n）³，
16n⁴+q=p×8n³，
上式右端是偶數(shù)，則左端的q必須為偶數(shù)，
否則：左端奇偶相加得奇，不符．
而q作為素?cái)?shù)，唯一的偶素?cái)?shù)就是2，即q=2，
則上式成為 16n⁴+2=p×8n³，
兩邊同時(shí)除以2，得：8n⁴+1=p×4n³，
顯然，左端奇偶相加得奇，但右端為偶，矛盾．
所以方程無偶整數(shù)解；
情形二：當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，設(shè)為x=2n-1，則有（2n-1）⁴+q=p×（2n-1）³，
觀察上式，右端為奇，則左端也必須為奇，而（2n-1）⁴是奇，所以得出q必須為偶，故素?cái)?shù)q=2，
上式成為：（2n-1）⁴+2=p×（2n-1）³，
整理成：p（2n-1）³-（2n-1）^4=（2n-1）³×[p-（2n-1）]=1×2，
由于（2n-1）³為奇，
所以必有：（2n-1）³=1，
解得：n=1；
則：[p-（2n-1）]=2，
解得：p=3；
綜上，對(duì)于素?cái)?shù)p、q，方程x⁴-px³+q=0有整數(shù)解，則p、q分別為3和2．
故答案為：p=3，q=2．