Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直 線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F。

（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明，若不是，則說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

解：（1）， 其證明如下： ∵CE是∠ACB的平分線， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可證， ∴； （2）四邊形不可能是菱形，若為菱形，則，而由（1）可知，在平面內(nèi)過同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線； （3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，，則四邊形為平行四邊形，要使為正方形，必須使， ∵， ∴， ∴是以為直角的直角三角形， ∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且是以為直角的直角三角形時(shí)，四邊形是正方形。