Question

（2010•萊蕪）在□ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連接EG、GF、FH、HE．

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)EF⊥GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是______；
（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是______；
（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于平行四邊形對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可判斷出EGFH的性質(zhì)；
（2）當(dāng)EF⊥GH時(shí)，平行四邊形EGFH的對角線互相垂直平分，故四邊形EGFH是菱形；
（3）當(dāng)AC=BD時(shí)，對四邊形EGFH的形狀不會產(chǎn)生影響，故結(jié)論同（2）；
（4）當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形，則對角線相等且互相垂直平分；可通過證△BOG≌△COF，得OG=OF，從而證得菱形的對角線相等，根據(jù)對角線相等的菱形是正方形即可判斷出EGFH的形狀．
解答：解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形；（1分）
證明：∵?ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，
∴點(diǎn)O是?ABCD的對稱中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四邊形EGFH是平行四邊形；（3分）

（2）∵四邊形EGFH是平行四邊形，EF⊥GH，
∴四邊形EGFH是菱形；（1分）

（3）菱形；（1分）

（4）四邊形EGFH是正方形；（1分）
證明：∵AC=BD，
∴?ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，∴GH=EF；（2分）
由（3）知四邊形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四邊形EGFH是正方形．（1分）
點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握各特殊四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此類題目的關(guān)鍵．