Question

如圖，在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，連結(jié)AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠CC₁B=∠C₁CB=45°，則∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC≌△A₁BC₁，則BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△ABA₁∽△CBC₁，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．
解答：解：（1）∵將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁，
∴∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴，
∵，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，（2）中證明△ABA₁∽△CBC₁，是解題的關(guān)鍵．