解:(1)∵拋物線y=ax
2-3ax+b過A(-1,0)、C(3,-4),
∴0=a+3a+b,-4=9a-9a+b.
解得a=1,b=-4,
∴拋物線解析式y(tǒng)=x
2-3x-4.
(2)如圖1,過點C作CH⊥AB于點H,
由y=x
2-3x-4得B(4,0)、D(0,-4).
又∵A(-1,0),C(3,-4),
∴CD∥AB.
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形,
∴S
△AOD=S
△BHC.
設矩形ODCH的對稱中心為P,則P(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,-2).
由矩形的中心對稱性知:過P點任一直線將它的面積平分.
∴過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分.
當直線y=kx+1經(jīng)過點P時,
得-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
k+1
∴k=-2.
∴當k=-2時,直線y=-2x+1將四邊形ABCD面積二等分.
(3)如圖2,由題意知,四邊形AEMN為平行四邊形,
∴AN∥EM且AN=EM.
∵E(1,1)、A(-1,0),
∴設M(m,n),則N(m-2,n-1)
∵M、N在拋物線上,
∴n=m
2-3m-4,n-1=(m-2)
2-3(m-2)-4,
解得m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3802.png)
,n=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/178456.png)
.
∴M(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3802.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/178456.png)
),N(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/365.png)
,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/295159.png)
)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201304/51d6616f70235.png)
分析:首先把已知坐標代入解析式求出拋物線解析式.然后作輔助線過點C作CH⊥AB于點H,得出四邊形ABCD是等腰梯形,由矩形的中心對稱性得出過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分.設M(m,n),N(m+2,n+1)利用等式關系求出m,n的值后即可.
點評:本題的綜合性強,是不可多得的一道答題.重點考查了二次函數(shù)的有關知識以及平行四邊形,梯形的性質,難度較大.