如圖(1),拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,-4)兩點,與y軸交于點D,與x軸交于另一點B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若直線L:y=kx+1(k≠0)將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,求直線L的解析式;
(3)如圖(2),過點E(1,1)作EF⊥x軸于點F,將△AEF繞平面內某點旋轉180°后得△MNT(點M、N、T分別與點A,E,F(xiàn)對應),使點M,N在拋物線上,求點M,N的坐標.

解:(1)∵拋物線y=ax2-3ax+b過A(-1,0)、C(3,-4),
∴0=a+3a+b,-4=9a-9a+b.
解得a=1,b=-4,
∴拋物線解析式y(tǒng)=x2-3x-4.

(2)如圖1,過點C作CH⊥AB于點H,
由y=x2-3x-4得B(4,0)、D(0,-4).
又∵A(-1,0),C(3,-4),
∴CD∥AB.
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形,
∴S△AOD=S△BHC
設矩形ODCH的對稱中心為P,則P(,-2).
由矩形的中心對稱性知:過P點任一直線將它的面積平分.
∴過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分.
當直線y=kx+1經(jīng)過點P時,
得-2=k+1
∴k=-2.
∴當k=-2時,直線y=-2x+1將四邊形ABCD面積二等分.

(3)如圖2,由題意知,四邊形AEMN為平行四邊形,
∴AN∥EM且AN=EM.
∵E(1,1)、A(-1,0),
∴設M(m,n),則N(m-2,n-1)
∵M、N在拋物線上,
∴n=m2-3m-4,n-1=(m-2)2-3(m-2)-4,
解得m=,n=-
∴M(,-),N(,-

分析:首先把已知坐標代入解析式求出拋物線解析式.然后作輔助線過點C作CH⊥AB于點H,得出四邊形ABCD是等腰梯形,由矩形的中心對稱性得出過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分.設M(m,n),N(m+2,n+1)利用等式關系求出m,n的值后即可.
點評:本題的綜合性強,是不可多得的一道答題.重點考查了二次函數(shù)的有關知識以及平行四邊形,梯形的性質,難度較大.
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如圖1,拋物線y=x2的頂點為P,A、B是拋物線上兩點,AB∥x軸,四邊形ABCD為矩形,CD邊經(jīng)過點P,AB=2AD.
(1)求矩形ABCD的面積;
(2)如圖2,若將拋物線“y=x2”,改為拋物線“y=x2+bx+c”,其他條件不變,請猜想矩形ABCD的面積;
(3)若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”,其他條件不變,請猜想矩形ABCD的面積.(用a、b、c表示,并直接寫出答案)
附加題:若將題中“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”條件不要,其他條件不變,探索矩形ABCD面精英家教網(wǎng)積為常數(shù)時,矩形ABCD需要滿足什么條件并說明理由.

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如圖,已知一拋物線過坐標原點O和點A(1,h)、B(4,0),C為拋物線對稱軸上一點精英家教網(wǎng),且OA⊥AB,∠COB=45°.
(1)求h的值;
(2)求此拋物線的解析式;
(3)若P為線段OB上一個動點(與端點不重合),過點P作PM⊥AB于M,PN⊥OC于N,試求
PM
OA
+
PN
BC
的值.

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25、目前國內最大跨徑的鋼管混凝土拱橋--永和大橋,是南寧市又一標志性建筑,其拱形圖形為拋物線的一部分(如圖1),在正常情況下,位于水面上的橋拱跨度為350米,拱高為85米.
(1)在所給的直角坐標系中(如圖2),假設拋物線的表達式為y=ax2+b,請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出a,b的值,并寫出拋物線的表達式;(不要求寫自變量的取值范圍,a,b的值保留兩個有效數(shù)字)
(2)七月份汛期將要來臨,當邕江水位上漲后,位于水面上的橋拱跨度將會減小,當水位上漲4m時,位于水面上的橋拱跨度有多大?(結果保留整數(shù))

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點為A(0,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上,點D、E在x軸上,CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點P為所求拋物線上的一動點,試判斷以點P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關系,并說明理由.
(3)如圖2,設點P在拋物線上且與點A不重合,直線PB與拋物線的另一個交點為Q,過點P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A(1,0)和點B,與y軸交于點C(0,-3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(1),己知點H(0,-1).問在拋物線上是否存在點G (點G在y軸的左側),使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出點G的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖(2),拋物線上點D在x軸上的正投影為點E(-2,0),F(xiàn)是OC的中點,連接DF,P為線段BD上的一點,若∠EPF=∠BDF,求線段PE的長.
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