Question

(1)已知一元二次方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的兩根為x₁、x₂；求證：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．

(2)已知拋物線y＝x²＋px＋q與x軸交于A、B兩點，且過點(－1，－1)，設線段AB的長為d，當p為何值時，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)先根據求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可； 　　(2)把點(－1，－1)代入拋物線的解析式，再由d＝|x1－x2|可知d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2，再由(1)中x1＋x2＝－p，x1·x2＝q即可得出結論． 　　解答：證明：(1)∵a＝1，b＝p，c＝q 　　∴Δ＝p2－4q 　　∴x＝ 　　即x1＝，x2＝ 　　∴x1＋x2＝＋＝－p， 　　x1·x2＝·＝q 　　(2)把代入(－1，－1)得p－q＝2，q＝p－2 　　設拋物線y＝x2＋px＋q與x軸交于A、B的坐標分別為(x1，0)、(x2，0) 　　∵d＝|x1－x2|， 　　∴d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2－4q＝p2－4p＋8＝(p－2)2＋4 　　當p＝2時，d2的最小值是4． 　　點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點及根與系數的關系，熟知x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的兩根時，x1＋x2＝－p，x1x2＝q是解答此題的關鍵．

提示：

考點：拋物線與x軸的交點；根與系數的關系．