Question

如圖，已知菱形ABCD的邊AB=10，對角線BD=12，BD邊上有2012個不同的點P₁，P₂，…，P₂₀₁₂，過P_i（i=1，2，…，2012）作P_iE_i⊥AB于E_i，P_iF_i⊥AD于F_i，則P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：作點E₁關(guān)于BD的對稱點M，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點M、P₁、F₁在一條直線上，且MF₁⊥BC，從而可得P_iE_i+P_iF_i等于菱形兩邊BC與AD之間的距離，結(jié)合題意所給條件即可得出答案．
解答：解：

作點E₁關(guān)于BD的對稱點M，則P₁M⊥BC，
又∵P₁F⊥BC，
∴M、P₁、F₁在一條直線上，且MF₁⊥BC，
故可得P_iE_i+P_iF_i等于菱形兩邊BC與AD之間的距離，
又∵AO==8，AC=2AO=16，
∴BN==9.6，
故可得：P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…+P₂₀₁₂E₂₀₁₂+P₂₀₁₂F₂₀₁₂=2012×9.6=19315.2．
故答案為：19315.2．
點評：此題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出P_iE_i+P_iF_i等于菱形兩邊BC與AD之間的距離是解答本題的關(guān)鍵，有一定難度．