Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A （-15，0），AB=25，AC=15，點C在第二象限，點P是y軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A逆時鐘方向旋轉(zhuǎn)．使邊AO與AC重合．得到△ACD．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當點P運動到點（0，5）時，求此時點D的坐標及DP的長；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于5？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，由于A，C兩點都在第二象限，所以k＞0，即：k=tan∠A，將點A代入求出b的值即可；
（2）設(shè)點D（x，y）旋轉(zhuǎn)后，CD=OP=5，∠DAC=∠D，根據(jù)三角形中∠ABC的正弦，余弦值可以求出x，y即可，由兩點間的距離公式求出DP的長即可；
（3）根據(jù)題意設(shè)點P（0，a），分當a＞0時和當-＜a＜0，a＜-，列出等量關(guān)系求出滿足條件a的值，若存在則求出點P的坐標即可．
解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵點A （-15，0）且C點在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A====，
又∵直線AC過點A-15，0），
即：0=×（-15）+b，
∴b=20，
∴直線AC的解析式為：；

（2）點P運動到點（0，5）時，CD=OP=5，AD==5，
設(shè)D（x，y），
則x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=×AD=AC==15；
∴D（-10，15），；

（3）設(shè)P（0，a），則
當a＞0時，
解得：，（舍去）
當時，．
解得，a₂=-5
當時，
解得（舍去），
∴存在點P，使△OPD的面積等于5，，P₂（0，-5），，．
點評：解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．