分別求所有的實數(shù)k,使得關于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0
(1)有實根;
(2)都是整數(shù)根.
【答案】
分析:(1)分類討論:當k=0,方程變?yōu)椋簒-1=0,解得x=1;當k≠0,△=(k+1)
2-4×k×(k-1)=-3k
2+6k+1,則-3k
2+6k+1≥0,利用二次函數(shù)的圖象解此不等式得
≤k≤
;最后綜合得到當
≤k≤
時,方程有實數(shù)根;
(2)分類討論:當k=0,方程變?yōu)椋簒-1=0,解得方程有整數(shù)根為x=1;當k≠0,△=(k+1)
2-4×k×(k-1)=-3k
2+6k+1=-3(k-1)
2+4,要使一元二次方程都是整數(shù)根,則△必須為完全平方數(shù),得到k=1,2,-
,k=1±
;然后利用求根公式分別求解即可得到k=1、2、-
時方程的解都為整數(shù).
解答:解:(1)當k=0,方程變?yōu)椋簒-1=0,解得x=1;
當k≠0,△=(k+1)
2-4×k×(k-1)=-3k
2+6k+1,
當△≥0,即-3k
2+6k+1≥0,方程有兩個實數(shù)根,解得
≤k≤
,
∴當
≤k≤
時,方程有實數(shù)根;
(2)當k=0,方程變?yōu)椋簒-1=0,解得方程有整數(shù)根為x=1;
當k≠0,△=(k+1)
2-4×k×(k-1)=-3k
2+6k+1=-3(k-1)
2+4,
一元二次方程都是整數(shù)根,則△必須為完全平方數(shù),
∴當△=4,則k=1;當△=1,則k=2;當△=
時,k=-
;當△=0,則k=1±
;
而x=
,
當k=1,解得x=0或-2;
當k=2,解得x=-
或-1;
當k=-
,解得x=2或4;
當k=1±
,解得x都不為整數(shù),并且k為其它數(shù)△為完全平方數(shù)時,解得x都不為整數(shù).
∴當k為0、1、-
時方程都是整數(shù)根.
點評:本題考查了一元二次方程ax
2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b
2-4ac:當△>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0,方程沒有實數(shù)根.也考查了分類討論思想的運用以及一元二次方程都為整數(shù)根的必要條件就是判別式為完全平方數(shù).