Question

如圖1，在直角坐標系中，A點的坐標為（a，0），B點的坐標為（0，b），且a、b滿足

a-b + a2-144

a+12

=0．
（1）求證：∠OAB=∠OBA．
（2）如圖2，△OAB沿直線AB翻折得到△ABM，將OA繞點A旋轉到AF處，連接OF，作AN平分∠MAF交OF于N點，連接BN，求∠ANB的度數．
（3）如圖3，若D（0，4），EB⊥OB于B，且滿足∠EAD=45°，試求線段EB的長度．

Answer 1

分析：（1）由

a-b + a2-144

a+12

=0，根據算術平方根的非負性，即可求得a與b的值，即可得OA=OB，即可證得結論；
（2）由折疊的性質可得四邊形OAMB是正方形，即可得∠OBA=45°，又求得∠ONA=45°，即可得點O，A，M，B四點共圓，即可求得AB是直徑，由圓周角定理，即可求得∠ANB的度數．
（3）連接AB，過點E作EF⊥AB于F，易求得∠EAF=∠OAD，即可得AF=3EF，繼而求得△BEF是等腰直角三角形，由OA=OB，求得AB的長，繼而求得EF的長，則可求得線段EB的長度．

解答：（1）證明：∵

a-b + a2-144

a+12

=0，
∴

a-b=0 a2-144=0 a+12≠0

，
解得：a=b=12，
∴A點的坐標為（12，0），B點的坐標為（0，12），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA；

（2）∵△OAB沿直線AB翻折得到△ABM，
∴OA=OB=AM=BM，
∴四邊形OAMB是矩形，
∵∠BOA=90°，
∴四邊形OAMB是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵AN是∠MAF的平分線，
∴∠NAF=

1

2

∠MAF，
∵將OA繞點A旋轉到AF處，
即OA=FA，
∴∠FOA=∠F，
∵∠FAE=∠FOA+∠F，
∴∠F=

1

2

∠FAE，
∴∠ONA=∠NAF+∠F=

1

2

∠MAF+

1

2

∠FAE=

1

2

（∠MAF+∠FAE）=45°，
∴∠OBA=∠ONA，
∴點O，A，N，B共圓，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴∠ANB=90°；

（3）連接AB，過點E作EF⊥AB于F，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
即∠OAD+∠BAD=45°，
∵∠EAD=45°，
∴∠BAD+∠EAF=45°，
∴∠OAD=∠EAF，
∵點D（0，4），
∴OD=4，
∴tan∠EAF=tan∠OAD=

OD

OA

=

1

3

，
在Rt△FAE中，∠EFA=90°，
∴tan∠EAF=

EF

AF

=

1

3

，
∴AF=3EF，
∵BE⊥OB，
∴∠EBF=45°，
∵∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠EBF=45°，
∴BF=EF，
∴AB=AF+BF=4EF，
∵OA=OB=12，
∴AB=12

2

，
∴EF=3

2

，
∴EB=

2

EF=3

2

×

2

=6．

點評：此題考查了折疊的性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、分式有意義的條件、正方形的判定與性質、角平分線的定義、三角形外角的性質、四點共圓、圓周角定理以及三角函數等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊與旋轉中的對應關系，注意數形結合思想的應用．