Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y＝x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）已知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2；（2）P（2，﹣）；（3）F（2，1）.

【解析】

（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，將點（4，1）代入，即可求解析式；

（2）聯(lián)立方程求出對稱軸x＝2，點A關(guān)于對稱軸的對稱點為 當(dāng)點P，A'，B共線時，|PA﹣PB|取得最大值；待定系數(shù)法求出直線A'B的解析式即可求點P；

（3）由 點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，得到將代入，整理得到由m是任意的，所以有方程組，求解即可．

解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點（4，1）代入，

得到a＝，

∴

（2）與的交點

對稱軸x＝2，

點A關(guān)于對稱軸的對稱點為

當(dāng)點P，A'，B共線時，|PA﹣PB|取得最大值；

設(shè)直線A'B的解析式為y＝kx+b，

∴

∴

∴

∴

（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，

∴

∴

∵,

∴

∴

∴

∴F（2，1）；