Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，），與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-5．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求二次函數(shù)的解析式和頂點P的坐標；
（3）若一次函數(shù)y=kx+m的圖象過二次函數(shù)的頂點P，把△PAB分成兩個部分，其中一個部分的面積不大于△PAB面積的，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程Z²-4Z-5=0的兩根，進而根據(jù)x₂＜x₁，求出A，B坐標即可；
（2）根據(jù)y=ax²+bx+c過A、B、C三點，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（3）根據(jù)A，B坐標，利用△PAB底邊3等分點得出相關(guān)直線解析式進而得出m的取值范圍．
解答：解：（1）∵，
∴x₁，x₂是方程Z²-4Z-5=0的兩根
解得：Z₁=5，Z₂=-1
∵x₁＞x₂，∴x₁=5，x₂=-1
∴A、B兩點的坐標是A（5，0），B（-1，0）；

（2）∵y=ax²+bx+c過A、B、C三點
∴
解得：
∴二次函數(shù)的解析式為：
y=-x²+x+
即y=-（x-2）²+3，
∴頂點P的坐標為（2，3）；

（3）據(jù)圖形特征知，當一次函數(shù)圖象過P（2，3）且過（1，0）或（3，0）時，
就把△PAB分成兩部分，其中一部分三角形的面積為△PAB面積的，
①設過（3，0），（2，3）的一次函數(shù)的解析式為：y=ax+b，
則，
解得：
故一次函數(shù)的解析式為：y=-3x+9，
同理可得出：過（5，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5．
又一次函數(shù)y=kx+m，當x=0時，y=m，
∴此一次函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為m．
觀察圖形變化得：5＜m≤9，
②過（-1，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為y=x+1，
過（1，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為y=3x-3．
觀察圖形變化得-3≤m＜1．
∴m的取值范圍是：-3≤m＜1或5＜m≤9．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及三角形面積求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和根與系數(shù)關(guān)系等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出△PAB面積的的分界點是解題關(guān)鍵．