Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-2，0）、B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）如在線段OC上有一點P，且點P到點B的距離為，那么在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？如存在，請求出點Q的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（-2，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法可求得y=x²-x-6；
（2）根據(jù)題意易求得OC=6，設P（0，m），則，所以，解得m₁=2，m₂=-2，即P（0，-2），當PQ∥AC時，四邊形QACP是梯形，利用梯形的性質可求得，即，當AP∥CQ時，四邊形APCQ是梯形，根據(jù)梯形的性質可求得OQ=6，即Q（-6，0），所以可知點Q的坐標為（-，0），（-6，0）．
解答：解：（1）∵y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-2，0），B（3，0）
∴．（2分）
解得．
∴y=x²-x-6（2分）

（2）∵y=x²-x-6與y軸交于點c
∴c（0，6）
∴OC=6（3分）
設P（0，m）
∴
∴m₁=2，m₂=-2
∴P（0，-2）（5分）
當PQ∥AC時，四邊形QACP是梯形
∴∴
∴
∴（7分）
當AP∥CQ時，四邊形APCQ是梯形
∴∴
∴OQ=6
∴Q（-6，0）（9分）
∴存在點Q，點Q的坐標為．（10分）
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)和方程之間的關系以及利用數(shù)形結合的方法求算線段的長度和點的坐標等．要熟練掌握才能靈活運用．