Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）10．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；

（2）利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結論；

（3）由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據(jù)等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論．

（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，

∴AD=DC=BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：設菱形DC邊上的高為h，

∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，

∵BC==，

∴DC=BC=，

∴h==，

菱形ADCF的面積為：DCh=×=10．