(2003 浙江紹興)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線(xiàn),按以下要求解答問(wèn)題:

(1)將三角形的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng),兩直角邊分別與邊OA、OB交于點(diǎn)CD

①在圖中,證明:PC=PD

②在圖中,點(diǎn)GCDOP的交點(diǎn),且PD,求△POD與△PDG的面積之比.

(2)將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng),一直角邊與邊OB交于點(diǎn)DOD=1,另一直角邊與直線(xiàn)OA、直線(xiàn)OB分別交于點(diǎn)C、E,使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似,在圖中作出圖形,試求OP的長(zhǎng).

答案:略
解析:

解 (1)①如圖所示,過(guò)PPHOAPNOB,垂足分別為H,N,得

HPN=90°,∴∠HPC+∠CPN=90°.

a)

而∠CPN+∠NPD=90°,

∴∠HPC=NPD

OM是∠AOB的平分線(xiàn),

PH=PN

又∵∠PHC=PND=90°,

∴△PCH≌△PDN

PC=PD

②如圖所示,∵PC=PD,∴∠PDG=45°.

b)

而∠POD=45°,

∴∠PDG=POD

又∵∠GPD=DPO,

∴△POD∽△PDG

(2)如圖所示,若PC與邊OA相交.

c)

∵∠PDE>∠CDO

PDE∽△OCD

∴∠CDO=PED

CE=CD,而COED

OE=OD

PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交,過(guò)PPHOA,PNOB,垂足分別為HN,如圖所示.

d)

∵∠PDE>∠EDC,

PDE∽△ODC

∴∠PDE=ODC

∵∠OEC<∠PED,

∴∠PDE=HCP

PH=PN

RtPHCRtPND

HC=ND,PC=PD

∴∠PDC=45°.

∴∠PDO=PCH=22.5°.

OP=OC

設(shè)OP=x,則,

,

,

,即


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