(2003 浙江紹興)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線(xiàn),按以下要求解答問(wèn)題:
(1)將三角形的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng),兩直角邊分別與邊OA、OB交于點(diǎn)C、D.
①在圖中,證明:PC=PD;
②在圖中,點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn),且PD,求△POD與△PDG的面積之比.
(2)將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng),一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D,OD=1,另一直角邊與直線(xiàn)OA、直線(xiàn)OB分別交于點(diǎn)C、E,使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似,在圖中作出圖形,試求OP的長(zhǎng).
解 (1)①如圖所示,過(guò)P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為H,N,得 ∠HPN=90°,∴∠HPC+∠CPN=90°. a) 而∠CPN+∠NPD=90°, ∴∠HPC=∠NPD. ∵OM是∠AOB的平分線(xiàn), ∴PH=PN. 又∵∠PHC=∠PND=90°, ∴△PCH≌△PDN. ∴PC=PD. ②如圖所示,∵PC=PD,∴∠PDG=45°. b) 而∠POD=45°, ∴∠PDG=∠POD. 又∵∠GPD=∠DPO, ∴△POD∽△PDG. ∴ (2)如圖所示,若PC與邊OA相交. c) ∵∠PDE>∠CDO, △PDE∽△OCD. ∴∠CDO=∠PED. ∴CE=CD,而CO⊥ED. ∴OE=OD. ∴ 若PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交,過(guò)P作PH⊥OA,PN⊥OB,垂足分別為HN,如圖所示. d) ∵∠PDE>∠EDC, △PDE∽△ODC. ∴∠PDE=∠ODC. ∵∠OEC<∠PED, ∴∠PDE=∠HCP. 而PH=PN, ∴Rt△PHC≌Rt△PND. ∴HC=ND,PC=PD. ∴∠PDC=45°. ∴∠PDO=∠PCH=22.5°. ∴OP=OC. 設(shè)OP=x,則 ∴ 而 ∴ ∴ |
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