如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在線段OA上運(yùn)動，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒。

問：△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由。


解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

        ∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。

∴tan∠OAB=2。

若△AON為等腰三角形，有三種情況：      

（I）若ON=AN，如圖1所示，

過點(diǎn)N作NQ⊥OA于點(diǎn)Q，

則Q為OA中點(diǎn)，OQ=OA=1，

∴t=。

∴t=。   

（III）若OA=AN，如圖3所示，

過點(diǎn)N作NQ⊥OA于點(diǎn)Q，

設(shè)AQ=x，則AQ•tan∠OAB=2x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：NQ2+AQ2=AN2，

即，解得x1=，x2=（舍去）。

∴x=，OD=2﹣x=2﹣。

∴t=1﹣。

綜上所述，當(dāng)t為秒、秒，1﹣秒時，△AON為等腰三角形。

【考點(diǎn)】雙動點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，分類思想的應(yīng)用。


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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知拋物線C：過原點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為B(4，0)，A為拋物線C的頂點(diǎn)，直線OA的解析式為，將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C1，求拋物線C、C1的解析式。

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如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．

（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長為　  　；

（2）如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點(diǎn)F，則四邊形B′FED′的面積為　  　；

（3）如圖④，將圖②中的△AED′繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點(diǎn)B，求弧D′D″的長．（結(jié)果保留π）

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如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP. 將△ABP繞點(diǎn)P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.

      （1） 如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在       關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β . 當(dāng)60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)α=60°時，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合. 已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面

積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PBD=6？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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如圖，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運(yùn)動，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。探究：在△DEF運(yùn)動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出△AEM的面積；若不能，請說明理由。

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如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C。點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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如圖，在平面坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動點(diǎn)P（a，b）在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P（a，b）運(yùn)動時，矩形PMON的面積為定值2．當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2．試探究：是否存在最大值？若存在，請求出該最大值；若不存在，請說明理由．

                                                              

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)a、b是任意兩個不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

（3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a，b的值．

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