Question

如圖，拋物線y=a（x+3）（x-1）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，6）．
（1）求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）P是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．
①求線段PM長度的最大值；
②在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△CMP與△APN相似？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）c在拋物線上，將c代入解析式，就可求出a的值；A是拋物線與x軸的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求出直線AC的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)出p點(diǎn)的橫坐標(biāo)m，p在直線上，然后用橫坐標(biāo)m表示出p點(diǎn)的坐標(biāo)，M與P的橫坐標(biāo)相同，且M在拋物線上，同樣可用m表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出線段PM，最后根據(jù)PM長度的關(guān)系式判斷m為何值時，線段最長．
解答：解：（1）點(diǎn)C（-2，6）在拋物線y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2（3分）
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-2（x+3）（x-1）
由題意得拋物線與x軸交于B（-3，0）、A（1，0）
設(shè)直線AC為y=kx+b，則有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=-2x+2（6分）

（2）①設(shè)P的橫坐標(biāo)為m（-2≤m≤1），則M的橫坐標(biāo)是m．
P（m，-2m+2），M（m，-2m²-4m+6）（7分）
∴PM=-2m²-4m+6-（-2m+2）=-2m²-2m+4=
∴當(dāng)m=-時，PM的最大值為（10分）
②存在，
∵∠CPM=∠APN
若∠CMP=∠ANP=90°
如圖1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，
6=-2（x+3）（x-1），
x²+2x=0，
x（x+2）=0，
x₁=0，x₂=-2（舍），
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，6），
如圖2，若∠PCM=∠ANP=90°，
過點(diǎn)C作與AC垂直的直線，則直線CM為：y=（x+2）+6，
聯(lián)立y=（x+2）+6與y=-2（x+3）（x-1），
（x+2）+6=-2（x+3）（x-1），
4x²+9x+2=0，
（x+2）（4x+1）=0，
x=-2（舍）或 x=-，
當(dāng)x=-時，y=-2×（-+3）×（--1）=，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-，），
故M₁（0，6）、M₂（，）（14分）
點(diǎn)評：本題綜合考查了二次函數(shù)的與直線相交下，交點(diǎn)問題的計算，以及線段最長最短問題，三角形問題等．