Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，連接BD、CD、BC．

（1）求證△BCD是直角三角形；

（2）點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)，若∠PCO＋∠CDB＝180°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，若∠CMN＝∠BDE，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）△BCD是直角三角形（2）P（， ）（3）M（， ）或M（， ）

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，然后寫出解析式，求得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理即可判定△BCD是直角三角形；（2）作PQ⊥OC于點(diǎn)Q，可得△PCQ∽△BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PQ＝3CQ ，設(shè) 設(shè)P（3m，－3－m）代入直線BD的解析式求得M的值，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)和點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，分點(diǎn)N在射線CD上和點(diǎn)N在射線DC上兩種情況討論；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，所以點(diǎn)M不存在，由此求的M（， ）或M（， ）.

試題解析：

（1） ，C（0，－3），D（1，－4）

∴，

△BCD是直角三角形

（2）作PQ⊥OC于點(diǎn)Q，∴△PCQ∽△BDC，∴PQ＝3CQ

設(shè)P（3m，－3－m）代入直線BD： 得：

∴P（， ）

（3）M（， ）或M（， ）