Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A(-3，0)和點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．

(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值．

(3)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，問(wèn)：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值為；(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(，)或(，)或(，)或(，)．

【解析】

(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；

(2)S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；

(3)分點(diǎn)N在x軸上方、點(diǎn)N在x軸下方兩種情況，分別求解．

解：(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，

即-3a=2，解得：a=-，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=-x2-x+2，

則點(diǎn)C(0，2)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=1；

(2)連接OP，設(shè)點(diǎn)P(x，-x2-x+2)，

則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD

=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，

∵-1＜0，故S有最大值，當(dāng)x=-時(shí)，S的最大值為；

(3)存在，理由：

△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角時(shí)，點(diǎn)N的位置如下圖所示：

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的位置為N1、N2，

N1的情況(△M1N1O)：

設(shè)點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(x，-x2-x+2)，則M1E=x+1，

過(guò)點(diǎn)N1作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M1作x軸的平行線(xiàn)交N1F于點(diǎn)E，

∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，

∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，

∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，

即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去負(fù)值)，

則點(diǎn)N1(，)；

N2的情況(△M2N2O)：

同理可得：點(diǎn)N2(，)；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，點(diǎn)N的位置為N3、N4，

同理可得：點(diǎn)N3、N4的坐標(biāo)分別為：(，)、(，)；

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(，)或(，)或(，)或(，)．