已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn)(不與A、B重合),過點(diǎn)C作⊙O的切線CD,過A作CD的垂線,垂足是M點(diǎn).
(1)如圖1,若CD∥AB,求證:AM是⊙O的切線.
(2)如圖2,若AB=6,AM=4,求AC的長.

【答案】分析:(1)連接OC,由CD是⊙O的切線,得出OC⊥CD,∠OCM=90°.再由CD∥AB,得出∠OCM+∠COA=180°.又知AM⊥CD,得到∠AMC=90°.在四邊形OAMC中∠OAM=90°.又知OA為⊙O的半徑,從而得到AM是⊙O的切線.
(2)連接OC,BC.因?yàn)镃D是⊙O的切線,所以O(shè)C⊥CD,∠OCM=90°.再由AM⊥CD,得到∠AMC=90°,OC∥AM,∠1=∠2.然后由OA=OC,得出∠3=∠2.即∠BAC=∠CAM.又因?yàn)锳B是直徑,所以∠ACB=90°,證得△BAC∽△CAM.所以.即AC2=AB•AM=24.從而解得
解答:解:(1)證明:連接OC.
∵CD是⊙O的切線,
∴OC⊥CD.∴∠OCM=90°.
∵CD∥AB,
∴∠OCM+∠COA=180°.
∵AM⊥CD,
∴∠AMC=90°.
∴在四邊形OAMC中∠OAM=90°.
∵OA為⊙O的半徑,
∴AM是⊙O的切線.

(2)連接OC,BC.
∵CD是⊙O的切線,
∴OC⊥CD.
∴∠OCM=90°.
∵AM⊥CD,
∴∠AMC=90°.
∴OC∥AM.
∴∠1=∠3.
∵OA=OC,
∴∠3=∠2.即∠BAC=∠CAM.
易知∠ACB=90°,
∴△BAC∽△CAM.

即AC2=AB•AM=24.

點(diǎn)評:本題考查了切線的判斷與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),此題難度適中,但比較繁瑣,一定要細(xì)心才行,不然很容易出錯(cuò).
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,∠CAB=30°,過點(diǎn)C的⊙O的切線交AB延長線于D,若OD=4
3
,那么弦AC長等于
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,過點(diǎn)O作弦BC的平行線,交過點(diǎn)A的切線AP于點(diǎn)P,連接AC.
(1)求證:△ABC∽△POA;
(2)若OB=2,OP=
72
,求BC的長.

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如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,直線CD與AB的延長線交于點(diǎn)D,∠COB=2∠DCB.精英家教網(wǎng)
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)點(diǎn)E是
AB
的中點(diǎn),CE交AB于點(diǎn)F,若AB=4,求EF•EC的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點(diǎn)A,
EC
=
CB
.給出下列結(jié)論:
①BA⊥DA;②OC∥AE;③OD⊥AC;④∠EAC=
1
4
∠EOB.
其中正確的結(jié)論有
①②④
①②④
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知AB是⊙O的直徑,弧AC的度數(shù)是30°.如果⊙O的直徑為4,那么AC2等于( 。

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