Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足為點D．
（1）如果∠A=60°，求證：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求證：∠A=60°．

Answer 1

證明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴AB=2AC，AC=2AD，
∴AB=4AD，
∴BD=3AD．

（2）取AB的中點O，連接CO，
∵BD=3AD，
∴設(shè)AD=x，則BD=3x，AB=4x，
∵∠C=90°，O是AB的中點，
∴OC=OA=2x，
∴，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠A=60°．
分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB=2AC，AC=2AD即可；
（2）取AB的中點O，連接CO，設(shè)AD=x，則BD=3x，AB=4x，根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出AO=CO，AD=DO，證△COA是等邊三角形即可求出答案．
點評：本題主要考查對直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．