Question

如圖，將矩形ABCD的一個角翻折，使得點D恰好落在BC邊上的點G處，折痕為EF，若EB為∠AEG的平分線，EF和BC的延長線交于點H．下列結論中：
①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；
④△BEG和△HEG的面積相等；
⑤若，則．
以上命題，正確的有

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

B
分析：①根據平角的定義，折疊的性質和角平分線的性質即可作出判斷；
②根據折疊的性質和等腰三角形的性質可知DE≠CH；
③無法證明BE=EF；
④根據角平分線的性質，等腰三角形的性質和三角形中線的性質可得△BEG和△HEG的面積相等；
⑤過E點作EK⊥BC，垂足為K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判斷．
解答：①由折疊的性質可知∠DEF=∠GEF，∵EB為∠AEG的平分線，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正確；
②可證△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故錯誤；
③只可證△EDF∽△BAE，無法證明BE=EF，故錯誤；
④可證△GEB，△GEH是等腰三角形，則G是BH邊的中線，∴△BEG和△HEG的面積相等，故正確；
⑤過E點作EK⊥BC，垂足為K．設BK=x，AB=y，則有y²+（2y-2x）²=（2y-x）²，解得x₁=y（不合題意舍去），x₂=y．則，故正確．
故正確的有3個．
故選B．
點評：本題考查了翻折變換，解答過程中涉及了矩形的性質、勾股定理，屬于綜合性題目，解答本題的關鍵是根據翻折變換的性質得出對應角、對應邊分別相等，然后分別判斷每個結論，難度較大，注意細心判斷．