Question

如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，且BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；

（2）設(shè)AB=a，∠A=60°，當(dāng)BE為何值時(shí)，矩形EFGH的面積最大？

Answer 1

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；矩形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，以及平行線的性質(zhì)可以證得∠DGH+∠CGH=90°，則∠HGF=90°，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，即可證得；

（2）設(shè)BE的長(zhǎng)是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

【解答】（1）證明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH=，

同理，∠CGF=，

∴∠DGH+∠CGF=，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，則菱形ABCD的面積是： a²，

設(shè)BE=x，則AE=a﹣x，

則△AEH的面積是：，

△BEF的面積是：，

則矩形EFGH的面積y=a²﹣﹣，

即y=﹣x²+ax，

則當(dāng)x==時(shí)，函數(shù)有最大值．

此時(shí)BE=．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用x表示出矩形EFGH的面積是關(guān)鍵．