Question

【題目】如圖，已知P為銳角∠MAN內(nèi)部一點，過點P作PB⊥AM于點B，PC⊥AN于點C，以PB為直徑作⊙O，交直線CP于點D，連接AP，BD，AP交⊙O于點E．

（1）求證：∠BPD=∠BAC．

（2）連接EB，ED，當tan∠MAN=2，AB=2時，在點P的整個運動過程中．

①若∠BDE=45°，求PD的長；

②若△BED為等腰三角形，求所有滿足條件的BD的長；

（3）連接OC，EC，OC交AP于點F，當tan∠MAN=1，OC//BE時，記△OFP的面積為S1，△CFE的面積為S2，請寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①PD=2；當BD為2，3或時，△BDE為等腰三角形；（3）=

【解析】

分析: （1）根據(jù)垂直的定義得出∠ABP=∠ACP=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根據(jù)平角的定義得出∠BPD+∠BPC=180°，根據(jù)同角的余角相等得出∠BPD=∠BAC ；

（2）①如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質得出BP=AB=2， 根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義得出BP=PD，從而得出PD的長；②Ⅰ如圖2，當BD=BE時，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等得出tan∠BPE=2，根據(jù)正切函數(shù)的定義由AB=2,得出BP=， 根據(jù)勾股定理即可得出BD=2；Ⅱ如圖3，當BE=DE時，∠EBD=∠EDB；由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC

②Ⅰ如圖2，當BD=BE時，∠BED=∠BDE， 由等角對等邊得出AC=AB= 2， 過點B作BG⊥AC于點G，得四邊形BGCD是矩形，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出AG=2，進而得出BD=CG=2-2,；Ⅲ如圖4，當BD=DE時，∠DEB=∠DBE=∠APC ，由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC，設PD=x，則BD=2x，根據(jù)正切函數(shù)的定義列出關于x的方程，求解得出x的值，進而由BD=2x得出答案；

（3）如圖5，過點O作OH⊥DC于點H，根據(jù)tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP，令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b，由OC∥BE得∠OCH=∠PAC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出OH·AC=CH·PC，從而列出方程，求解得出a=b，進而表示出CF,OF，故可得出答案.

詳解:

（1）解 ：∵PB⊥AM，PC⊥AN

∴∠ABP=∠ACP=90°，

∴∠BAC+∠BPC=180°

∵∠BPD+∠BPC=180°

∴∠BPD=∠BAC

（2）解 ;①如圖1，

∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°，

∴BP=AB=

∵∠BPD=∠BAC

∴tan∠BPD=tan∠BAC

∴ =2

∴BP=PD

∴PD=2

∴∠BPD=∠BPE=∠BAC

∴tan∠BPE=2

∵AB=

∴BP=

∴BD=2

Ⅱ如圖2，當BE=DE時，∠EBD=∠EDB

∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC

∴∠APB=∠APC

∴AC=AB=2

過點B作BG⊥AC于點G，得四邊形BGCD是矩形

∵AB= ，tan∠BAC=2

∴AG=2

∴BD=CG=

Ⅲ如圖4，當BD=DE時，∠DEB=∠DBE=∠APC

∵∠DEB=∠DPB=∠BAC

∴∠APC=∠BAC

設PD=x，則BD=2x

∴ =2

∴ =2

∴x=

∴BD=2x=3

綜上所述，當BD為2，3或 時，△BDE為等腰三角形

（3）,

如圖5，過點O作OH⊥DC于點H

∵tan∠BPD=tan∠MAN=1

∴BD=DP

令BD=DP=2a，PC=2b得

OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b

由OC∥BE得∠OCH=∠PAC

∴

∴OH·AC=CH·PC

∴a（4a+2b）=2b（a+2b）

∴a=b

∴CF=，OF=

∴.