Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一點E，EC=2cm，AD上有一點P，PA=6cm，過點P作PF⊥AD交BC于點F，將紙片折疊，使P和E重合，折痕交PF于Q，則線段PQ的長是cm．

1. A.
   4
2. B.
   4.5
3. C.
   4
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：首先過點Q作QH⊥CD于H，連接EQ，由矩形ABCD與PF⊥AD，易證得四邊形PQHD是矩形，即可求得DH=PQ，DH=PD，又由折疊的性質，可得QE=PQ，然后設PQ=xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．
解答：解：過點Q作QH⊥CD于H，連接EQ，
∴∠DHQ=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，CD=AB=5cm，
∴DE=CD-EC=5-2=3（cm），
∵PF⊥AD，
∴∠FPD=90°，
∴四邊形PQHD是矩形，
∴QH=PD=AB-PA=10-6=4（cm），DH=PQ，
∵將紙片折疊，使P和E重合，折痕交PF于Q，
∴PQ=EQ，
設PQ=xcm，則QE=DH=xcm，
∴EH=DH-DE=x-3（cm），
在Rt△EQH中，QE²=QH²+EH²，
即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=4．
∴PQ=4cm．
故選D．
點評：此題考查了折疊性質、矩形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合與方程思想的應用．