如圖,矩形ABCD中,AB=12cm,AD=16cm,動點E、F分別從A點、C點同時出發(fā),均以2cm/s的速度分別沿AD向D點和沿CB向B點運動.
(1)經(jīng)過幾秒首次可使EF⊥AC?
(2)若EF⊥AC,在線段AC上,是否存在一點P,使2EP•AE=EF•AP?若存在,請說明P點的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)易證EF一定平分AC,當EF⊥AC時,△AEM∽△ACD,利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得AE的長,從而求得時間t的值;
(2)當EP⊥AD時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以得到2EP•AE=EF•AP,根據(jù)△AEP∽△ADC,即可求得AP的長.
解答:解:(1)在直角△ACD中,AC===20cm.
設(shè)經(jīng)過ts時EF⊥AC.
則AE=CF=2t,
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACF,
在△AME和△CMF中,

∴△AME≌△CMF(AAS).
則AM=MC=AC=×20=10cm.
當EF⊥AC時,△AEM∽△ACD,
=,即=,
解得:AE==
則t==(s);


(2)存在.
∵△AME≌△CMF,

∴ME=MF=EF,
當EP⊥AD時,△AME∽△AEP,=,即AE•EP=AP•ME=AP•EF,
即2EP•AE=EF•AP.
∵PE⊥AD,CD⊥AD,
∴EP∥CD,
∴△AEP∽△ADC,
=,即=,
解得:AP=
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及矩形的性質(zhì),正確理解當EP⊥AD時,2EP•AE=EF•AP成立,是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是BC的中點,DE⊥AM,E是垂足,則△ABM的面積為
 
;△ADE的面積為
 

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精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC邊上至少存在一點P,使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似,則a、b間的關(guān)系式一定滿足(  )
A、a≥
1
2
b
B、a≥b
C、a≥
3
2
b
D、a≥2b

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7、如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足為E,∠DAE=2∠BAE,則∠CAE=
30
°.

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(2008•懷柔區(qū)二模)已知如圖,矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,E是邊AD上一點,且BE=ED,P是對角線上任意一點,PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分別為F、G.則PF+PG的長為
3
3
cm.

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(2002•西藏)已知:如圖,矩形ABCD中,E、F是AB邊上兩點,且AF=BE,連結(jié)DE、CF得到梯形EFCD.
求證:梯形EFCD是等腰梯形.

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