【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=2,AD=4,動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上,與點(diǎn)B、C不重合,過點(diǎn)A作DE的垂線,交直線CD于點(diǎn)F.設(shè)DF=x,EC=y.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
(2)當(dāng)CF=1時(shí),求EC的長(zhǎng).
(3)若直線AF與線段BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí),求DF的長(zhǎng).
【答案】(1),(0<x<8);(2)EC的長(zhǎng)為或;(3)DF的長(zhǎng)為或.
【解析】
試題(1)易證△ADF∽△DCE,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可得到y與x的關(guān)系,然后根據(jù)y的范圍就可得到x的范圍;
(2)由于點(diǎn)F的位置不確定,需分點(diǎn)F在線段DC及點(diǎn)F在線段DC的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論,然后利用y與x的關(guān)系即可解決問題;
(3)由∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC可得∠BED=∠DFG,因而在△DBE和△DFG中,點(diǎn)E與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn),故當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí),可分△DEB∽△GFD和△DEB∽△DFG兩種情況進(jìn)行討論,然后只需用x的代數(shù)式表示ED、FG、EB,再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.
試題解析:(1)如圖1,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴DC=AB=2,∠ADC=∠BCD=90°.
又∵AF⊥DE,
∴∠ADF=∠DCE=90°,∠DAF=∠EDC=90°﹣∠DFA,
∴△ADF∽△DCE,
∴,
∴,即.
∵點(diǎn)E在線段BC上,與點(diǎn)B、C不重合,
∴0<y<4,∴0<<4,即0<x<8,
∴,(0<x<8);
(2)①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時(shí),
∵CF=1,
∴DF=x=2﹣1=1,此時(shí)CE=y=x=;
②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長(zhǎng)線上時(shí),
∵CF=1,
∴DF=x=2+1=3,此時(shí)CE=y=x=;
∴當(dāng)CF=1時(shí),EC的長(zhǎng)為或;
(3)在Rt△ADF中,AF=,
在Rt△DCE中,DE=,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴△ADF∽△GCF,
∴,
∴FG=.
∵∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC,
∴∠BED=∠DFG,
∴當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí),可分以下兩種情況討論:
①△DEB∽△GFD,如圖2,
則有,
∴EDFD=FGEB,
∴(4﹣x),
解得:x=.
②若△DEB∽△DFG,如圖3,
則有,
∴EDFG=EBFD,
∴(4﹣x),
整理得:3x2+8x﹣16=0,
解得:x1=,x2=﹣4(舍去).
綜上所述:DF的長(zhǎng)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DE、DF分別是△ABD和△ACD的高,連接EF交AD于G,下列結(jié)論:①AD垂直平分EF;②EF垂直平分AD;③AD平分∠EDF;④當(dāng)∠BAC為60°時(shí),△AEF是等邊三角形,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。
A.2B.3C.4D.1
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,⊙O經(jīng)過A、D兩點(diǎn),交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是2cm,E是弧AD的中點(diǎn),求陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào))
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【題目】為滿足市場(chǎng)需求,某超市在中秋節(jié)來臨前夕,購(gòu)進(jìn)一種品牌月餅,每盒進(jìn)價(jià)是元.超市規(guī)定每盒售價(jià)不得少于元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn);當(dāng)售價(jià)定為每盒元時(shí),每天可以賣出盒,每盒售價(jià)每提高元,每天要少賣出盒.
當(dāng)每盒售價(jià)定為多少元時(shí),每天銷售的利潤(rùn)(元)最大?最大利潤(rùn)是多少?
為穩(wěn)定物價(jià),有關(guān)管理部門限定:這種粽子的每盒售價(jià)不得高于元.如果超市想要每天獲得元的利潤(rùn),那么超市每天銷售月餅多少盒?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng);點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng).點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=2時(shí),求線段PQ的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PCQ的面積等于5cm2?
(3)在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中,在某一時(shí)刻,若將△PQC翻折,得到△EPQ,如圖2,PE與AB能否垂直?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,“主收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am(a>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分,“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a﹣1)m的正方形,兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg.
(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高?
(2)若高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的(kg)倍,求a的值
(3)利用(2)中所求的a的值,分解因式x2﹣ax﹣108=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)、,頂點(diǎn)為,與軸交于點(diǎn).
求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo);
如圖,為線段上一點(diǎn),過點(diǎn)作軸平行線,交拋物線于點(diǎn),當(dāng)的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
如圖,若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)、、所構(gòu)成的三角形與相似,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo);
如圖,過作軸于點(diǎn),是軸上一動(dòng)點(diǎn),是線段上一點(diǎn),若,則的最大值為________,最小值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的表達(dá)式為.
求此拋物線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
求拋物線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
在上述的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
在上述的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
在上述的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和小紅玩拋硬幣游戲,連續(xù)拋兩次.小明說:“如果兩次都是正面,那么你贏;如果兩次是一正一反,則我贏.”小紅贏的概率是__________,據(jù)此判斷該游戲__________(填“公平”或“不公平”).
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