Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上，與點(diǎn)B、C不重合，過點(diǎn)A作DE的垂線，交直線CD于點(diǎn)F．設(shè)DF=x，EC=y．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．

（2）當(dāng)CF=1時(shí)，求EC的長(zhǎng)．

（3）若直線AF與線段BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），（0＜x＜8）；（2）EC的長(zhǎng)為或；（3）DF的長(zhǎng)為或．

【解析】

試題（1）易證△ADF∽△DCE，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可得到y與x的關(guān)系，然后根據(jù)y的范圍就可得到x的范圍；

（2）由于點(diǎn)F的位置不確定，需分點(diǎn)F在線段DC及點(diǎn)F在線段DC的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，然后利用y與x的關(guān)系即可解決問題；

（3）由∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC可得∠BED=∠DFG，因而在△DBE和△DFG中，點(diǎn)E與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，可分△DEB∽△GFD和△DEB∽△DFG兩種情況進(jìn)行討論，然后只需用x的代數(shù)式表示ED、FG、EB，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．

又∵AF⊥DE，

∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°﹣∠DFA，

∴△ADF∽△DCE，

∴，

∴，即．

∵點(diǎn)E在線段BC上，與點(diǎn)B、C不重合，

∴0＜y＜4，∴0＜＜4，即0＜x＜8，

∴，（0＜x＜8）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)F線段DC上時(shí)，

∵CF=1，

∴DF=x=2﹣1=1，此時(shí)CE=y=x=；

②當(dāng)點(diǎn)F線段DC延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵CF=1，

∴DF=x=2+1=3，此時(shí)CE=y=x=；

∴當(dāng)CF=1時(shí)，EC的長(zhǎng)為或；

（3）在Rt△ADF中，AF=，

在Rt△DCE中，DE=，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴△ADF∽△GCF，

∴，

∴FG=．

∵∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC，

∴∠BED=∠DFG，

∴當(dāng)△DBE與△DFG相似時(shí)，可分以下兩種情況討論：

①△DEB∽△GFD，如圖2，

則有，

∴EDFD=FGEB，

∴（4﹣x），

解得：x=．

②若△DEB∽△DFG，如圖3，

則有，

∴EDFG=EBFD，

∴（4﹣x），

整理得：3x2+8x﹣16=0，

解得：x1=，x2=﹣4（舍去）．

綜上所述：DF的長(zhǎng)為或．