Question

【題目】(1)探究1:如圖1,P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點,若∠A=70，則∠BPC=_______度；

(2)探究2:如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系?并說明理由。

(3)拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點，設(shè)∠A+∠D=α.,直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；

Answer 1

【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由見解析；（3）∠BPC =180°﹣

【解析】

（1）借助角平分線的性質(zhì)即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中進一步分析可找出∠BPC與∠A的關(guān)系，進而求出∠BPC的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根據(jù)角平分線的定義可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC與∠A的關(guān)系；

（3）延長BA、CD相交于點Q，由（2）的分析可直接得出∠P與∠Q的關(guān)系，而∠BAD與∠CDA是△ADQ的外角，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可解答.

（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）

=180°﹣（∠ABC+∠ACB）

=180°﹣（180°﹣∠A）

=90°+∠A

=90°+35°

=125°

故答案為：125°

（2）∠BPC=90°﹣∠A

理由如下：

∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）

=180°﹣（∠DBC+∠ECB）

=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

=180°﹣（∠A+180°）

=90°﹣∠A

（3）延長BA、CD相交于點Q，如圖

∠BPC=90°﹣∠Q

∴∠Q=180°﹣2∠BPC

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC

∴∠BPC =180°﹣

故答案為：∠BPC =180°﹣